你知道哪些與數(shù)學(xué)有關(guān)的小故事？
九個數(shù)學(xué)小故事，可以分9天講給孩子們聽：
在通往數(shù)學(xué)王國的道路上，你需要周游數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)初步、空間和圖形、統(tǒng)計(jì)和概率、運(yùn)籌與邏輯五個王國，在那里，你會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)前輩的故事，學(xué)習(xí)他們曾經(jīng)學(xué)習(xí)的知識和技能，克服種種的難題，磨練你數(shù)學(xué)方面的才能。每一個王國的最后，都有一個險(xiǎn)惡的關(guān)口，只有勤加修煉的人，才能順利地闖關(guān)成功。讓我們開始數(shù)學(xué)的探險(xiǎn)吧！
孩子們：你們一定非常喜歡故事，對嗎？從今天開始我就在這里給大家講數(shù)學(xué)故事。你們說喜歡聽嗎？
今天我給大家講第一個故事：數(shù)的誕生
笨笨和聰聰是同學(xué)，又是好朋友，聰聰?shù)陌职仲Z伯伯是一位數(shù)學(xué)老師，經(jīng)常給笨笨和聰聰講一些數(shù)學(xué)故事。
一天，賈伯伯問他們：“聰聰、笨笨，你們知道數(shù)是從哪里來的嗎？”
聰聰和笨笨都愣住了：“數(shù)是從哪里來的？”他們天天要數(shù)數(shù)，天天要算數(shù)，可是數(shù)到底是從哪里來的，還真的沒有想過！
賈伯伯說：“你們現(xiàn)在從1數(shù)到成千上萬，都不成問題，不過你們知道嗎，原始人根本就沒有‘?dāng)?shù)’這個概念，他們只知道‘有’和‘沒有’，后來他們知道了‘多’和‘少’，再后來他們才慢慢地明白了‘一個’和‘多個’的區(qū)別?！?/p>
“那他們算東西多不方便呀！”笨笨說。
“是啊，”賈伯伯說，“在很長的時間里面，人們除了一、二、三之外，就數(shù)不出別的數(shù)來了。有個傳說，一個埃及國王讓一個惡鬼給纏住了，要他把全部手指都給數(shù)出來。國王好不容易給數(shù)了出來，就被看做是天才了呢！”
“哦！”聰聰說，“那笨笨要是在那個時候就更是天才了，它不只能屬手指頭，連腳趾頭都會數(shù)呢！”
笨笨狠狠瞪了聰聰一眼，轉(zhuǎn)頭問賈伯伯：“那后來人是怎么學(xué)會數(shù)更多數(shù)的呢？”賈伯伯說：“后來，他們就用在獸骨等東西上劃杠或者用繩子系扣的方法，來把兩個東西一一對應(yīng)起來。比如說，打來四只兔子，就在繩子上系四個扣子，根據(jù)繩子的顏色、系扣的大小，來代表不同事物的數(shù)目?！?/p>
“那要是一萬，就得劃一萬道，系一萬個扣子嗎？”聰聰問。
“是啊。所以這種方法就特別的麻煩。不過，不知道過了多少年，人類才學(xué)會使用抽象的符號來表示數(shù)目。抽象符號的出現(xiàn)，就標(biāo)志著數(shù)字誕生了。比如，古埃及人使用一種象形文字做數(shù)字符號，而古巴比倫用的是三角形的符號。”
“那我們中國人呢？”聰聰問。
“我們中國人，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)最早用的是甲骨文。在四千年前，中國人就已經(jīng)會用十進(jìn)制了。在三千多年前的商朝，就有從1到10的全部數(shù)字了，不過，我們現(xiàn)在使用的‘阿拉伯?dāng)?shù)字’，是印度人在兩千三百多年前發(fā)明的，后來經(jīng)過上千年的演變，又傳到阿拉伯，再從阿拉伯傳到歐洲，再經(jīng)過演變，最后才成為像現(xiàn)在我們看到的這個樣子?！?/p>
“原來這10個阿拉伯?dāng)?shù)字，還有這么長一段故事呢！”笨笨說。
好，今天我們的故事就講到這。下面給大家留一道經(jīng)典名題和一道趣味題。
經(jīng)典名題 埃及阿摩斯趣題
有人問一位趕著70頭家畜來到牧場的人：“你趕來的這些家畜，占全部家畜群的多少？”牧人答：“我趕來的家畜是家畜群的1/3的2/3。”牧人家畜群有多少家畜？
趣味題 烏龜老爺爺和孫子
烏龜老爺爺和他的孫子們今年歲數(shù)都逢5：烏龜老爺爺75，大孫子25，二孫子15，小孫子5歲。
烏龜老爺爺說：“如果能看到你們?nèi)齻€人歲數(shù)加起來等于我的歲數(shù)，就好啦！”
孫子們一字一頓，齊聲說：“一定能看到！”
烏龜老爺爺聽了眉開眼笑，孫子們也樂滋滋合不攏嘴。什么事讓他們這樣開心呢？
當(dāng)然是為了他們這兩句話所講的事情高興。
講的是什么事呢？你知道嗎？
1我們假設(shè)家畜群總頭數(shù)為“1”。那么總頭數(shù)的1/3的2/3，即2/9為70頭。列成算式：
70÷（1/3×2/3）=70÷2/9=315（頭）
答：牧人家畜群有家畜315頭。
2把三個孫子的歲數(shù)加起來。25+15+5=45（歲）；烏龜老爺爺今年75歲，今年烏龜老爺爺?shù)臍q數(shù)比孫子們歲數(shù)總和大得多，相差30歲。每過1年，烏龜老爺爺增加1歲；孫子們每人增加1歲，3個孫子共增加3歲。所以，每過1年，孫子們年齡之和與烏龜老爺爺年齡的差數(shù)縮小2歲。要能剛好趕上，需要：
（75-45）÷（3-1）=30÷2=15（年）。
數(shù)學(xué)故事2 阿拉伯?dāng)?shù)字的歷史誤會
1、2、3、4、5、6、7、8、9、0這十個數(shù)字，是我們在學(xué)數(shù)學(xué)的時候，在生活中，隨時都可以看到的。我們也管它們叫“阿拉伯?dāng)?shù)字”。如果問起你為什么叫它這個名字，你也許會毫不猶豫地說：“當(dāng)然是因?yàn)樗麄兪前⒗税l(fā)明的啦！”
不過，小朋友，你們知道嗎，“阿拉伯?dāng)?shù)字”其實(shí)并不是阿拉伯人發(fā)明的，這是一個歷史的誤會。其實(shí)，這些數(shù)字，在公元前三世紀(jì)的時候就已經(jīng)被印度人確定和應(yīng)用了。
阿拉伯人對數(shù)學(xué)研究做出了很多的歷史貢獻(xiàn)，而在當(dāng)時，歐洲還正處在中世紀(jì)的時代，宗教思想占絕對的統(tǒng)治地位，科學(xué)研究得不到發(fā)展。不過歐洲的一些學(xué)者們還是通過從阿拉伯傳來的書籍中得到了科學(xué)知識。通過這些書籍，歐洲人熟悉了幾乎整個古代世界的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，但在一開始的時候，卻把他們?nèi)籍?dāng)成了阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的成就。他們把經(jīng)過阿拉伯人改進(jìn)的印度數(shù)字，也當(dāng)成是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家的發(fā)明，所以給它起了個名字，叫“阿拉伯?dāng)?shù)字”。
后來，人們知道弄錯了，但是“阿拉伯?dāng)?shù)字”這個名字已經(jīng)叫開了，而且成了習(xí)慣，改不過來了。所以，我們現(xiàn)在還在叫它“阿拉伯?dāng)?shù)字”。
經(jīng)典名題 分羊遺囑
下面的故事最初在阿拉伯民間流傳，后來傳到了世界各國。故事說:一位老人養(yǎng)了17只羊，老人去世后在遺囑中要求將17只羊按比例分給三個兒子。大兒子分1/2，二兒子分1/3，三兒子分1/9。在分羊時不允許宰殺羊。
看完父親的遺囑，三個兒子犯了愁。17是個質(zhì)數(shù)，它既不能被2整除，也不能被3和9整除，又不許殺羊來分，這可怎么辦呢？
偏巧一個聰明的鄰居牽著一只羊從這里經(jīng)過，很快幫他們解決了這個問題，按遺囑把羊給分了。小朋友你會分嗎？
趣味題 一除到底
宮城良田考試的試卷里有一個算式，里面的運(yùn)算都是除法：
1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）÷（6÷7）÷（7÷8）=？
“分羊遺囑”：前面提到有一個聰明的鄰居牽著一只羊從這里經(jīng)過，他說“我姐給你們一只羊，這樣18只羊就好分了。”老大分1/2 18×1/2=9（只）；老二分1/3 18×1/3=6（只）；老三分1/9 18×1/9=2（只）。合在一起是9+6+2=17，正好17只羊，還剩下一只羊，鄰居把它牽回去了。你可以在思考一下，這道題妙在哪里。
還有一道趣味題“一除到底”：你可以嘗試變換一下，把括號中的除法些成分?jǐn)?shù)形式：
1÷2/3÷3/4÷4/5÷5/6÷6/7÷7/8=1×3/2×4/3×5/4×6/5×7/6×8/7=8/2=4
化成分?jǐn)?shù)顛倒相乘后，你可以發(fā)現(xiàn)在分子和分母里都有3、4、5、6、7，把它們約掉。
我們講第三個數(shù)學(xué)故事“‘0’的故事”。
小朋友，你們都知道，1、2、3、4、5、6、7、8、9、0這10個阿拉伯?dāng)?shù)字是數(shù)學(xué)的最基本的符號，有了它，我們才能進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算。而“0”，則是其中不可缺少的。有了“0”，我們在記數(shù)、讀數(shù)等方面，有很多方便。不過，你們也許不知道，“0”這個數(shù)碼在當(dāng)初傳入歐洲的時候，還發(fā)生過一段挺讓人氣憤的故事呢。
大約1500年前，歐洲的數(shù)學(xué)家們是不知道用“0”的。他們使用羅馬數(shù)字。羅馬數(shù)字使用幾個表示數(shù)的符號，按照一定規(guī)則，把它們組合起來表示不同的數(shù)目。在這種數(shù)字的運(yùn)用里，不需要“0”這個數(shù)字。
而在當(dāng)時，羅馬帝國有一位學(xué)者從印度記數(shù)法里發(fā)現(xiàn)了“0”這個符號。他發(fā)現(xiàn)，有了“0”，進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算方便極了，他非常高興，還把印度人使用“0”的方法向大家作了介紹。過了一段時間，這件事被當(dāng)時的羅馬教皇知道了。當(dāng)時是歐洲的中世紀(jì)，教會的勢力非常大，羅馬教皇的權(quán)力更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過皇帝。教皇非常惱怒，他斥責(zé)說，神圣的數(shù)是上帝創(chuàng)造的，在上帝創(chuàng)造的數(shù)里沒有“0”這個怪物，如今誰要把它給引進(jìn)來，誰就是褻瀆上帝！于是就下令，把這位學(xué)者抓了起來，并對他施加了酷刑，用夾子把他的十個指頭緊緊夾住，使他兩手殘廢，讓他再也不能握筆寫字。就這樣，“0”被那愚昧、殘忍的羅馬教皇明令禁止了。
但是，雖然“0”被禁止使用了，然而羅馬的數(shù)學(xué)家們還是不管禁令，在數(shù)學(xué)的研究中仍然秘密地使用“0”，仍然用“0”做出很多數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)。后來“0”終于在歐洲被廣泛使用，而羅馬數(shù)字卻逐漸被淘汰了。
經(jīng)典名題：雞兔同籠
在中國古代數(shù)學(xué)書《孫子算經(jīng)》里，有這樣一個問題：
現(xiàn)在有一些野雞和兔子，關(guān)在同一只籠子里，從上面看，共有35個頭；從下面看，共有94只腳。問有多少只野雞，多少只兔子？
上一期雞兔同籠的作法：
1、抬腳法：雞抬一只，兔子抬兩只，相當(dāng)于去了一半，還剩94÷2=47只腳，由于雞還剩一只腳，直接47-35=12只。就是兔的只數(shù)。
2、抬腳法第二種：
同時抬兩只，35×2=70只腳，還剩94-70=24只。由于雞抬起兩只后直接坐地下了，而兔子還剩兩只腳，所以24÷2=12只。兔子12只。雞23只。
3、包貝爾算法：假設(shè)雞和兔都訓(xùn)練有素，吹一聲哨，抬起一只腳，94-35=59。
再吹哨，又抬起一只腳，59-35=24，這時雞都一屁股坐地上了，兔子還兩只腳立著。
所以，兔子有24÷2=12只，雞有35-12=23只。 所以他兒子數(shù)學(xué)總考第一。
今天我們接著講第四個故事：神秘的大西島
古希臘有位偉大的哲學(xué)家叫做柏拉圖，他在書中曾根據(jù)另一位大政治家梭倫的回憶錄，記載了一個叫大西島的傳說。而這個故事又是梭倫在游歷的時候，一些埃及的祭司告訴他的：在比梭倫還要早9000年的時候，大西島上存在非常發(fā)達(dá)的文明。但是，有一次，巨大的災(zāi)難降臨了大西島，這個島連同它的全體居民突然沉到海里去了。據(jù)說，這個島的面積很大，方圓足有80萬平方英里，因此，柏拉圖猜測這個島的位置在大西洋里，大西島——估計(jì)大西洋的名字和它就有千絲萬縷的聯(lián)系。
于是從柏拉圖的時代開始，世世代代的人們不斷地尋找，卻始終都沒有找到神秘 “大西島”的痕跡。而在近代，根據(jù)地質(zhì)考察表明：地中海里確實(shí)發(fā)生過這樣的一次火山爆發(fā)，也確實(shí)毀滅了一種文化。但是，這個事件發(fā)生在比梭倫那個時代早900年的時候，而不是9000年，不但如此，柏拉圖在書里描述過的那個島的面積，原來說是長3000斯達(dá)提亞（古希臘長度單位），寬2000斯達(dá)提亞，面積折合約是80萬平方英里，但是如果把這個大小減成300×200，就正好和地中?？死锾貚u上的一個平原相符了。原來，從梭倫到柏拉圖，都犯了一個錯誤，他們讀錯了古埃及的數(shù)字，把位置提高了一位，把100讀成了1000。其實(shí)，大西島就是希臘南部的克里特島。你看數(shù)學(xué)上小小的一個位數(shù)，足以折騰地人們忙活半天卻沒有收獲。
經(jīng)典名題 藍(lán)精靈提水
有一個藍(lán)精靈，住在大森林里，他每天從住地出發(fā)，到河邊提水回來。他提空桶行走的速度是每秒5米，提滿桶行走的速度是每秒3米。提一趟水，來回共需8分鐘。藍(lán)精靈的住地離河邊有多遠(yuǎn)？
趣味題 小丸子上學(xué)
櫻桃丸子從家去學(xué)校，如果每分鐘走80米，結(jié)果比上課時間提前6分鐘到校。如果每分鐘走50米，則要遲到3分鐘。小丸子的家離學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)？
上期經(jīng)典命題 “藍(lán)精靈提水”的題解是這樣的：走同樣的路程，所用的時間和速度成反比。提空桶速度：提滿桶速度=5：3。提空桶時間：提滿桶時間=3：5。來回一趟共計(jì)用8分鐘，剛好8=3+5，所以：提空桶行走的時間=3分鐘=180秒。藍(lán)精靈的住地到河邊的距離是5×180=900（米）。
“小丸子上學(xué)”的題解是這樣的：從家走到學(xué)校，兩種速度所用時間的差是6+3=9（分）。如果有兩個人同時從櫻桃小丸子家往學(xué)校走，其中一個人以每分鐘80米的速度快走，另一個人以每分鐘50米的速度慢走，那么當(dāng)快走的人到達(dá)學(xué)校時，慢走的人還差9分鐘的路程，即：50×9=450（米）。從兩人同時同地出發(fā)，到距離拉開成450米，所用的時間是：450÷（80-50）=15（分）。這15分鐘時從家快步走到學(xué)校所用的時間，所以家到學(xué)校的距離是 80×15=1200（米）。
今天我們來講“烏龜背上的數(shù)”
傳說，在很久很久以前，大禹治水來到洛水。洛水中浮起一只大烏龜，烏龜?shù)谋成嫌幸粋€奇怪的圖，圖上有許多圈和點(diǎn)。這些圈和點(diǎn)表示什么意思呢？大家都弄不明白，一個人好奇地?cái)?shù)了一下龜甲上的點(diǎn)數(shù)，再用數(shù)字表示出來，發(fā)現(xiàn)這里有非常有趣的關(guān)系。
把龜甲上的數(shù)填入正方形的方格中，不管是把橫著的三個數(shù)相加，還是把豎著的三個數(shù)相加，或者把斜著的三個數(shù)相加，它們的和都等于15。
后來，數(shù)學(xué)家對這個圖形進(jìn)行了深入的研究。在我國古代，把這種方圖叫做“縱橫圖”或者“九宮圖”；在國外，則叫它“幻方”。
宋朝有個數(shù)學(xué)家叫楊輝，他研究出來了一種排列方法：先畫一個圖，把1到9從小到大斜著排進(jìn)圖里，然后把最上面的1和最下面的9對調(diào)，最左邊的7和最右邊的3對調(diào)，最后把最外邊的四個數(shù)，填進(jìn)中間的空格里，就得到了烏龜背上的圖了。
《射雕英雄傳》中，黃蓉中了裘千仞的鐵掌之后，郭靖背著黃蓉來到了瑛姑的黑龍?zhí)?。瑛姑號稱“神算子”，看外號就是數(shù)學(xué)專業(yè)的，為了去桃花島營救老公周伯通，天天擺弄數(shù)字。為了為難他們，瑛姑出了一道題，對她來說，這是一道極難的題，她思考了N年，也沒有找到答案?！皩?至9這9個數(shù)字排成三列，不論縱橫斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”蓉兒聽后，淡然一笑，脫口而出：“二四為肩,六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央”。于是，瑛姑服了。這是什么東東呢？其實(shí)，這就是九宮訣。
趣味題 加減交替
小頭爸爸一天遇到了這樣一道計(jì)算題，一眼看去就覺得特別：
100+99-98+97-96+……+5-4+3-2+1=
特別的地方，首先是式中各數(shù)從大到小，順次減1。其次是式中的運(yùn)算符號加減交替出現(xiàn)。
根據(jù)這兩個特點(diǎn)，小頭爸爸簡化了計(jì)算：……
你會做嗎？請把你的做法告訴我。
上期“加減交替”的題解是這樣的：小頭爸爸一天遇到了這樣一道計(jì)算題，一眼看去就覺得特別：
100+99-98+97-96+……+5-4+3-2+1=？
特別的地方，首先是式中各數(shù)從大到小，順次減1。其次是式中的運(yùn)算符號加減交替出現(xiàn)。根據(jù)這兩個特點(diǎn)，小頭爸爸簡化了計(jì)算：
100+（99-98）+（97-96）+……+（5-4）+(3-2)+1=150
今天我們來講 “奇妙的1/243”
20世紀(jì)，有個杰出的物理學(xué)家叫范曼，他不但在物理學(xué)上很有造詣，也非常有文化才能。他寫了一部小說《范曼先生，你在開玩笑啊》，以他自己的經(jīng)歷做題材，記載了他本人和其他的一些科學(xué)家在第二次世界大戰(zhàn)的時候造出原子彈的故事和其他的一些趣事。
在這本書里，范曼給大家介紹了一個神奇的數(shù)：1/243。這個數(shù)有什么神奇的地方呢，就是如果用小數(shù)來表示，它就等于：
0.004115226337448559……
小朋友們看出來了嗎？這個小數(shù)的排列特別有規(guī)律，411-522-633-744-855。那后面是不是就該是966了呢？可是如果你算下去的話，就會發(fā)現(xiàn)，下一個數(shù)確實(shí)是6，但再下一個數(shù)則變成了7，不再像剛才那樣有奇特的規(guī)律了。
如果一直除下去的話，那這個小數(shù)就是：
0.004115226337448559670781893，然后又再重新循環(huán)下去。
這種排列的規(guī)律到底是偶然的，還是有什么必然的規(guī)律呢？到現(xiàn)在還沒有確定的答案。
經(jīng)典名題 兄弟分房子
這是一道托爾斯泰很喜歡的數(shù)學(xué)題：
“兄弟五人平分父親遺留下來的三所房子。由于房子無法拆分，便同時分給老大、老二和老三。為了補(bǔ)償，三個哥哥每人付出800元給老四和老五，于是五人所得完全相同。問三所房子總值多少？”
在上一期中的“兄弟分房子”我們這樣題解：三個哥哥每人付出800元，合計(jì)800×3=2400元；分給老四和老五倆人，每人得2400÷2=1200元。按照平均的原則，弟兄五個總和1200×5=6000元，即三所房子總值為6000元。
今天我們繼續(xù)講故事，神奇的希爾伯特旅館
小朋友們可能都聽說過意大利科學(xué)家伽利略的名字，知道他在天文和物理學(xué)上的成就。其實(shí)，伽利略在數(shù)學(xué)上也有很多發(fā)現(xiàn)，比如他提出的“伽利略悖論”。
伽利略悖論只有一句話：“正偶數(shù)和自然數(shù)一樣多。”
這話初一看上去明顯是錯的：自然數(shù)是由正偶數(shù)和正奇數(shù)組成的，正偶數(shù)只不過是自然數(shù)的一部分，怎么會和自然數(shù)一樣多呢？這就好像說1+3=4，所以1=4一樣，怎么可能是正確的呢？不過，伽利略這樣說，是有他的道理的。
因?yàn)?，伽利略所指的，不是有限的對象，而是無限的對象。如果就有限的數(shù)來講，那這句話肯定是不對的。比如，有兩堆蘋果，說它們數(shù)量一樣多，只要把它們都數(shù)一下，看看數(shù)目是不是相等就行了?？墒?，如果要把這句話用到“無限”上，就不能這么說了。因?yàn)橐呀?jīng)不能用數(shù)的辦法來比它們的多少了，無限多個是永遠(yuǎn)不可能數(shù)完的。
既然不能一個個地去數(shù)，就只能采取一一對應(yīng)的方法，看它們能不能建立起這種關(guān)系。比如說，如果有一個自然數(shù)，卻沒有一個正偶數(shù)來對應(yīng)，那么就可以說明這個“悖論”是錯誤的。這個辦法是：
正偶數(shù)：2、4、6、8、10……把它們各自除以2，就有和它們一一對應(yīng)的自然數(shù)1、2、3、4、5……這樣，對于每一個正偶數(shù)，就會有一個自然數(shù)和它對應(yīng)，而兩個正偶數(shù)不同，它們相對應(yīng)的兩個自然數(shù)也不同。這么一來，我們就會發(fā)現(xiàn)“正偶數(shù)和自然數(shù)一樣多”這話是完全有道理的。
而且，不只是正偶數(shù)，所有的正奇數(shù)也可以和自然數(shù)一一對應(yīng)，也就是說，正奇數(shù)也和自然數(shù)一樣多。
德國數(shù)學(xué)家希爾伯特就曾經(jīng)根據(jù)這個“悖論”，給人講過一個故事：
在一座旅館，經(jīng)理坐在門口，他的旅館客房和自然數(shù)一樣多，有無窮多間客房。可是雖然有無窮多間，也全都住滿了。這時候，來了一個旅客，要求住宿。經(jīng)理卻說：“盡管我的旅館中所有客房都已經(jīng)住滿，但是我還是可以安排您住下！”經(jīng)理就讓服務(wù)員去重新安排一下旅客的住房：讓住1號的旅客搬到2號住，讓住2號的旅客搬到3號住，這樣往下安排，讓住在每一個房間的旅客都搬到他住的房間號+1的房間中去，這樣，就把1號房間騰出來，讓新來的旅客住進(jìn)了1號客房。
新來的旅客剛剛住下，忽然又來了一群旅客，同時要求住宿，這群旅客的數(shù)量和自然數(shù)一樣多。而經(jīng)理卻還是不慌不忙地對無窮多位的旅客說：“雖說我的旅館的客房全部住滿了，可是我還是可以安排你們這無窮多位旅客全部住下的！”
經(jīng)理說到做到，他又讓服務(wù)員重新安排一下旅客的住房：讓住在1號的旅客搬到2號住，讓住在2號的旅客搬到4號住，這樣往下安排，它們搬到的新的房間號都是原來的房間號乘以2，這樣一來，原來的房客住的房間號都是偶數(shù)，就把奇數(shù)號的房間都騰了出來，讓剛剛來的無窮多位旅客住到奇數(shù)號房間去。因?yàn)樗械恼鏀?shù)和自然數(shù)一樣多，所以完全可以住得下。
經(jīng)典名題 合伙買狗
下面是中國古代數(shù)學(xué)書《九章算術(shù)》里一道關(guān)于買狗的應(yīng)用題：
“今有共買犬，人出五，不足九十；人出五十，適足。問人數(shù)、犬價(jià)各幾何？”
題目的大意是說：現(xiàn)在有幾個人合買一條狗，每人出5文，還差90文；每人出50文，剛好夠了。問有多少人？狗的價(jià)錢是多少？
生活中的數(shù)學(xué) 這樣找錢錯不了
灰姑娘到小商店買一件衣服，應(yīng)付款28元8角。掏出一張100元的大票子，遞過去，等候找錢。女店主接過百元鈔票，開始找錢。她不用算盤，也不用電子計(jì)算器，全憑口算。只見她不慌不忙，先拿出兩張1角的零錢，一張一張地往柜臺上放，同時嘴里報(bào)數(shù)：9角、1元，……29元了！然后拿出一張1元的房在柜臺上，說：30元了！接著再拿出兩張10元面額的錢，一張一張地放到柜臺上，同時嘴里報(bào)數(shù)：40元、50元。
最后拿出一張50元的大票子，笑嘻嘻地說：總共100元錢，對吧？
她根本就不需要計(jì)算應(yīng)該共計(jì)找你多少錢，而是利用尾數(shù)湊整的辦法，先把角湊整成元，再把元湊整成10元，最后把10元湊整成100元。生活經(jīng)驗(yàn)告訴她，這樣找錢，肯定錯不了。
小朋友們，你們在生活中所見到的找錢是這么做的嗎？不妨試試看。上一期經(jīng)典名題“合伙買狗”，我們來分析一下：第一次每人出5文，第二次改成出50文，增加的錢數(shù)是50-5=45（文）。每人多拿出45文，剛好補(bǔ)足了原來短缺的錢數(shù)90文，所以人數(shù)是90÷45=2，狗的價(jià)錢是50×2=100（文）。答案是共有兩個人，買一只狗要100文?！毒耪滤阈g(shù)》里還有一些類似的問題，幾個人合買一件東西，那出來的錢有時候多了（盈），有時候不夠（不足），有時候剛好（適足）。這種算術(shù)題型很常見，至今還叫做“盈虧問題”或“盈不足問題”，保留了《九章算術(shù)》的傳統(tǒng)。
今天我們繼續(xù)講故事，天才在左 瘋子在右。
如果你不認(rèn)識1、2、3……你該怎么數(shù)數(shù)？
在我們的祖先認(rèn)識數(shù)字以前，原始人采用把珠子和銅幣逐個相比的方法來判斷珠子和銅幣哪一個多。這個樸素的“一一對應(yīng)”原理仍是我們今天數(shù)數(shù)的方法。所不同的是我們不必再把實(shí)物與實(shí)物進(jìn)行比較，而是把實(shí)物與自然數(shù)的整體{1,2,…,n}進(jìn)行比較。比如，當(dāng)我們數(shù)5個珠子時，實(shí)際上是把它們分別與1、2、3、4、5一一對應(yīng)而數(shù)出來的。
這一思想，被數(shù)學(xué)家康托成功地用來比較無窮集合的大?。喝绻麅蓚€集合之間存在一一對應(yīng)，則這兩個集合的元素就一樣多。
康托的有關(guān)無窮的概念，震撼了知識界。
由于研究無窮時往往推出一些合乎邏輯的但又荒謬的結(jié)果（稱為“悖論”），許多大數(shù)學(xué)家唯恐陷進(jìn)去而退避三舍。不到30歲的康托向神秘的無窮宣戰(zhàn)。他靠著辛勤的汗水，成功地證明了一條直線上的點(diǎn)能夠和一個平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)，也能和空間中的點(diǎn)一一對應(yīng)。這樣看起來，1厘米長的線段內(nèi)的點(diǎn)與太平洋面上的點(diǎn)，以及整個地球內(nèi)部的點(diǎn)都“一樣多”。
天才總是不被世人所理解?？低械墓ぷ髋c傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀念發(fā)生了尖銳沖突，遭到一些人的反對、攻擊甚至謾罵。有人說，康托的集合理論是一種“疾病”，康托的概念是“霧中之霧”，甚至說康托是“瘋子”。
來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了神經(jīng)分裂癥，被送進(jìn)精神病醫(yī)院。他在集合論方面許多非常出色的成果，都是在精神病發(fā)作的間歇時獲得的。真金不怕火煉，康托的思想終于大放光彩。1897年舉行的第一次國際數(shù)學(xué)家會議上，他的成就得到承認(rèn)，偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家羅素稱贊康托的工作？“可能是這個時代所能夸耀的最巨大的工作”。
經(jīng)典名題 狗追兔子
狗在150丈處發(fā)現(xiàn)一只兔子，兔子2分鐘跑500丈，狗5分鐘跑1300丈，求幾時狗追上兔子？
經(jīng)典名題 洗碗
酒足飯飽之后，火頭軍去河邊洗碗，筐中共有65個碗。有人問：用餐者多少人？火頭軍道：兩人一個飯碗，三人一個湯碗，四人一個菜碗。請你算一算用餐者幾人。
上期答案
題解是這樣的：“132÷（1+2+6+24）=132÷33=4 是甲捐獻(xiàn)數(shù)目；4×2=8 是乙捐獻(xiàn)數(shù)目；4×6=24 是丙捐獻(xiàn)數(shù)目；4×24=96 是丁捐獻(xiàn)數(shù)目。
今天我們繼續(xù)講故事 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)
在古希臘，有一個很了不起的數(shù)學(xué)家，叫畢達(dá)哥拉斯，他開了一間學(xué)校，教了很多學(xué)生，他的學(xué)校的名字叫“畢達(dá)哥拉斯學(xué)園”，別的人也給他們起了個名字，叫“畢達(dá)哥拉斯學(xué)派”。他們認(rèn)為，數(shù)是世界的法則，是主宰生死的力量，他們就像崇拜天神一樣崇拜數(shù)。
畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)生們在學(xué)園里研究數(shù)學(xué)，作出了好多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，比如“畢達(dá)哥拉斯定理”，就是這么發(fā)現(xiàn)的。這個定理，在我們中國叫“勾股定理”。關(guān)于這個定理，我們以后還會講到。
畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，世界上只存在著整數(shù)和分?jǐn)?shù)，除此之外，就再也沒有什么別的數(shù)了?？墒牵幸粋€學(xué)生，叫希伯斯，就發(fā)現(xiàn)了這樣的一種數(shù)。比如，一個邊長是1的正方形。從一個角到對著它的一個角之間的線段長度是多少呢？
畢達(dá)哥拉斯知道了學(xué)生的這個發(fā)現(xiàn)，大驚失色，因?yàn)槿绻姓J(rèn)了這個發(fā)現(xiàn)，那他們學(xué)派的基礎(chǔ)就沒有了。畢達(dá)哥拉斯這位偉大的數(shù)學(xué)家，在這上面的表現(xiàn)卻很不光彩：他禁止希伯斯把這個發(fā)現(xiàn)傳出去，否則就要用學(xué)園的戒律來處置他——活埋。
可希伯斯卻忍不住，把自己的發(fā)現(xiàn)和別人私下里討論。這樣，這個發(fā)現(xiàn)就傳了出去。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的人們大為惱火，他們來找希伯斯興師問罪，然而希伯斯事先已經(jīng)得知了消息，他搶先一步逃走了。忠于老師的學(xué)生們是不會放過他的。雖然希伯斯在國外流浪了好幾年，可還是被追殺他的師兄弟們在一條海船上發(fā)現(xiàn)了。師兄弟們一點(diǎn)兒不講往日的情分，把希伯斯裝進(jìn)了口袋，扔進(jìn)了大海。希伯斯就這樣被害死了。
希伯斯雖然被害死了，但是他發(fā)現(xiàn)的“新數(shù)”卻還存在著。后來，人們從它的發(fā)現(xiàn)中知道了除去整數(shù)和分?jǐn)?shù)之外，世界上還存在著一種“新數(shù)”。正方形的對角線和邊長的比試這種新數(shù)。給這種新數(shù)起個什么名字呢？當(dāng)時人們覺得，整數(shù)和分?jǐn)?shù)是人們已經(jīng)習(xí)慣的，容易理解，就把他們合稱為“有理數(shù)”，而把希伯斯發(fā)現(xiàn)的新數(shù)起名叫“無理數(shù)”。
趣味題 孫悟空吃桃子
孫悟空從山上采來一堆桃子。第一天，它先吃去其中的一半，還有些嘴饞，又吃了一個。第二天吃去剩下的一半再加一個。第三天又吃去剩下的一半再加一個。第四天再吃去剩下的一半再加一個，剛好吃完。它從山上共采來多少個桃子呢？
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