甜膩膩的情人節(jié)的卡片：長(zhǎng)數(shù)軸
原文作者，Evelyn Lamb，數(shù)學(xué)及科學(xué)普及自由作家。
翻譯作者，Math001，哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)翻譯組成員。
校對(duì)，donkeycn。
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我必須坦誠(chéng)交代我曾經(jīng)對(duì)長(zhǎng)數(shù)軸（long line）有著微微的敵意。但是當(dāng)我看到Mike Lawler發(fā)的推文的時(shí)候，我覺得應(yīng)該給再長(zhǎng)數(shù)軸一個(gè)表達(dá)自己的機(jī)會(huì)。
Mike Lawler:
我對(duì)你的愛就像長(zhǎng)數(shù)軸 —— 真情如往，僅更久長(zhǎng)
就是說，長(zhǎng)數(shù)軸是拓?fù)淇臻g中的一張?zhí)鹉伳伒那槿斯?jié)卡片。試圖能找到它背后所有的意義，就是讓我在數(shù)學(xué)里找尋愛情的表達(dá)，最幸福的事情莫過于此。
就像它名字表達(dá)的那樣，長(zhǎng)數(shù)軸真的很長(zhǎng)，某種意義上說它比通常的實(shí)數(shù)軸“長(zhǎng)”。我們能把通常的實(shí)數(shù)軸看成一串單位長(zhǎng)度的區(qū)間一個(gè)接著一個(gè)拼接而成的直線。或者說明確一點(diǎn)，區(qū)間的個(gè)數(shù)與整數(shù)一樣多。長(zhǎng)數(shù)軸基本也一樣，只不過區(qū)間的個(gè)數(shù)與實(shí)數(shù)一樣多而已。
無論如何，如果這樣的長(zhǎng)數(shù)軸能作出來，應(yīng)該是很贊的事情。但是，真相有點(diǎn)詭異，它會(huì)讓我們撞入集合論錯(cuò)綜復(fù)雜的旅程之中。集合論中關(guān)于無窮的很多斷言曾經(jīng)讓數(shù)學(xué)家康托瘋掉。我這里有言在先！
為了定義長(zhǎng)數(shù)軸，我們得先討論一下不同數(shù)量的無窮。當(dāng)數(shù)學(xué)家們討論集合的數(shù)量，或者說集合的基數(shù)，他們用的思想是一一對(duì)應(yīng)：如果兩個(gè)集合中，從第一集合里取出的每一個(gè)元素，都能從第二個(gè)集合取出一個(gè)元素與之配對(duì)，一個(gè)不多也一個(gè)不少，我們就說這兩個(gè)集合有相同數(shù)量。換種說法，如果我們不想數(shù)手指的話，我們把兩個(gè)拇指對(duì)起來，再把食指對(duì)起來，一直下去，直到把兩只手的所有手指都對(duì)應(yīng)了起來，于是我們知道，兩只手的手指數(shù)量是相同的。
當(dāng)我們把此方法用于無限集合的時(shí)候，奇怪的事情就會(huì)發(fā)生。雖然偶數(shù)只是整數(shù)的一部分，但是整數(shù)和偶數(shù)是一樣多的。我們可以把整數(shù)寫在左邊一列，偶數(shù)寫在右邊一列，左邊寫n的地方，對(duì)應(yīng)的右邊寫上2n。于是，我們找到了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，這兩個(gè)集合元素的數(shù)量是一樣多的。然而對(duì)于有限集，你是找不到這樣的一個(gè)一一對(duì)應(yīng)的。
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實(shí)數(shù)集合已經(jīng)被證明是比整數(shù)多的，所以我們知道了至少有兩種不同數(shù)量的無限集合。實(shí)際上，我們有從一個(gè)數(shù)量少一些元素的集合得到元素?cái)?shù)量更多的集合的一般方法。所以，我們可以從整數(shù)的無窮開始不斷生成無窮多個(gè)擁有元素?cái)?shù)量越來越多的無窮集合。對(duì)于整數(shù)集合的無窮，我們把它叫做可數(shù)無窮。
這和我們要說的長(zhǎng)數(shù)軸有什么關(guān)系？長(zhǎng)數(shù)軸的確切定義其實(shí)不是用實(shí)數(shù)多個(gè)單位區(qū)間拼起來。而是把最小的不可數(shù)無窮(smallest uncountable infinite)多個(gè)區(qū)間拼在一起而組成的。
到了這里，我們將撞入連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問題。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是說實(shí)數(shù)的無窮就等于最小的不可數(shù)的無窮。所以，如果實(shí)數(shù)的基數(shù)和最小的不可數(shù)的無窮相等，那么我先前長(zhǎng)數(shù)軸的描述才是準(zhǔn)確的。如果不是，實(shí)數(shù)無窮和整數(shù)無窮之間還有別的無窮的話，構(gòu)造長(zhǎng)數(shù)軸的區(qū)間數(shù)量應(yīng)該用那個(gè)最小的不可數(shù)無窮替代。
那么，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是真的嗎？好消息是，你認(rèn)為它是真的是沒問題的！1963年，Cohen證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和決定數(shù)學(xué)底層的策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)不矛盾。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立，也和策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)不矛盾（編者修正：這是一個(gè)誤解，實(shí)際上連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)不矛盾在20世紀(jì)30年代就由哥德爾證明了，Cohen證明的只是后者，即，即便連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不成立，也和策梅洛-弗蘭克爾公理系統(tǒng)不矛盾）。就是說，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)這個(gè)命題和數(shù)學(xué)的公理體系是獨(dú)立的。你不可能用現(xiàn)有的數(shù)學(xué)公理證明或者否定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。一些人認(rèn)為，這說明我們的數(shù)學(xué)底層還不完美，但我更傾向于支持另外一種說法——我們可以在一些沒有矛盾公理體系之間自由切換。
我們是否決定接受連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，取決于我們用長(zhǎng)數(shù)軸能做多少事情。它有什么好處？和許多我喜愛的拓?fù)淇臻g一樣，長(zhǎng)數(shù)軸可以用來打破你之前喜愛的數(shù)學(xué)用具——這是一個(gè)絕妙的反例。在這種情況下，長(zhǎng)數(shù)軸告訴我們?nèi)绻覀冇刑嗪脰|西，也許并不一定是好事。最基本的，在長(zhǎng)數(shù)軸上，我們不能建立微積分體系，因?yàn)樗L(zhǎng)了。
至于原因，這牽涉到很艱深的技術(shù)手段，特別是你剛剛費(fèi)盡腦汁思考完“最小的不可數(shù)無窮”的時(shí)候，我們來說說建立微積分體系要滿足的三個(gè)條件也許更容易接受一些：第一，從局部看，它要和某個(gè)維數(shù)的歐氏空間相似；第二，它得是豪斯多夫的，就是說你可以讓空間內(nèi)的點(diǎn)分離開；第三，它還得是第二可數(shù)的，就是說它能從比較少（可數(shù)多）的集合中構(gòu)建出來。長(zhǎng)數(shù)軸不滿足最后一條。雖然，你可能認(rèn)為長(zhǎng)數(shù)軸基本上和普通實(shí)數(shù)軸一樣，但是它們其實(shí)有根本的不同，就是因?yàn)殚L(zhǎng)數(shù)軸太長(zhǎng)了。
“吾愛汝深深幾許？今且聽吾細(xì)數(shù)之…”(How do I love thee? Let me count the ways…)，如果你心里總惦記長(zhǎng)數(shù)軸的話，這勃朗寧夫人的詩(shī)句聽起來也沒那么動(dòng)人了，“吾愛汝深深幾許？勿可令吾細(xì)數(shù)之,猶如集構(gòu)長(zhǎng)數(shù)軸, 實(shí)為永世不可數(shù)！” 雖然詩(shī)意少了些，但貌似能更浪漫的表達(dá)你的感情！
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