關(guān)于歐拉公式的優(yōu)美句子

【第1句】： 視為最優(yōu)美的公式,美在哪里

歐拉公式大概是數(shù)學(xué)史上最有名的公式之一，它的簡(jiǎn)潔，優(yōu)美，可以說(shuō)是數(shù)學(xué)之美最恰當(dāng)?shù)淖C明。image

這個(gè)公式可能很多同學(xué)都耳熟能詳了，但是其證明大家可能還不熟悉。證明方法有很多種，下面我為大家演示一個(gè)最常見(jiàn)的。

首先注意到ex的泰勒展開(kāi)如下：

令x=it，即有：

合并實(shí)部和虛部，整理如下：

最后一步的得到是利用了cos(t)和sin(t)的泰勒展開(kāi)。如果你忘了這兩個(gè)函數(shù)的泰勒展開(kāi)，可以點(diǎn)擊這里復(fù)習(xí)一下。

只需要令t=π，我們就可以得到大名鼎鼎的歐拉恒等式（Euler Identify）:

image

這個(gè)公式被許多人認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上最優(yōu)美的公式，沒(méi)有之一。一個(gè)式子就可以將5個(gè)最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)常數(shù)連接在一起，著實(shí)令人沉醉。

0，加法的單位元。

1，乘法的單位元。

e，自然常數(shù)。在數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域都有出鏡，例如我上一篇日志里提到的亂序問(wèn)題。

i，復(fù)數(shù)的虛部單位元。

π，圓周率常數(shù)，不需要我再介紹了吧。

每次我看到這個(gè)式子，就會(huì)有一種奇妙的感覺(jué)。這么說(shuō)或許很抽象，就像是油畫(huà)愛(ài)好者看到了蒙娜麗莎，建筑師們觸摸到了巴特農(nóng)神廟，或者宅男看到了空姐一樣。但是不像別的學(xué)科，數(shù)學(xué)只需要給你一張紙和一支筆，就可以無(wú)差別的體會(huì)到她的魅力。這或許是當(dāng)前世界上最廉價(jià)的娛樂(lè)活動(dòng)，卻是最集中的體現(xiàn)了人類(lèi)智慧的精華。我想，這就是我這個(gè)普通數(shù)學(xué)愛(ài)好者的幸運(yùn)。

【第2句】： 為什么說(shuō)歐拉公式偉大

這個(gè)公式是上帝寫(xiě)的么？？？？？ 最優(yōu)美的公式，沒(méi)有之一.

到了最后幾名，創(chuàng)造者個(gè)個(gè)神人。歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，也是各領(lǐng)域（包含數(shù)學(xué)的所有分支及力學(xué)、光學(xué)、音響學(xué)、水利、天文、化學(xué)、醫(yī)藥等）最多著作的學(xué)者。數(shù)學(xué)史上稱(chēng)十八世紀(jì)為“歐拉時(shí)代”。歐拉出生于瑞士，31歲喪失了右眼的視力，59歲雙眼失明，但他性格樂(lè)觀，有驚人的記憶力及集中力。他一生謙遜，很少用自己的名字給他發(fā)現(xiàn)的東西命名。不過(guò)還是命名了一個(gè)最重要的一個(gè)常數(shù)——e。

關(guān)于e，以前有一個(gè)笑話說(shuō)：在一家精神病院里，有個(gè)病患整天對(duì)著別人說(shuō)，“我微分你、我微分你?！币膊恢獮槭裁矗@些病患都有一點(diǎn)簡(jiǎn)單的微積分概念，總以為有一天自己會(huì)像一般多項(xiàng)式函數(shù)般，被微分到變成零而消失，因此對(duì)他避之不及，然而某天他卻遇上了一個(gè)不為所動(dòng)的人，他很意外，而這個(gè)人淡淡地對(duì)他說(shuō)，“我是e的x次方?！?/p>

這個(gè)公式的巧妙之處在于，它沒(méi)有任何多余的內(nèi)容，將數(shù)學(xué)中最基本的e、i、pie放在了同一個(gè)式子中，同時(shí)加入了數(shù)學(xué)也是哲學(xué)中最重要的0和1，再以簡(jiǎn)單的加號(hào)相連。

高斯曾經(jīng)說(shuō)：“一個(gè)人第一次看到這個(gè)公式而不感到它的魅力，他不可能成為數(shù)學(xué)家?！?/p>

【第3句】： 最美數(shù)學(xué)公式

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原發(fā)布者：ARITHo

【第1句】：歐拉恒等式這是一個(gè)非常著名的恒等式。它給出了3個(gè)看似隨機(jī)的量之間的聯(lián)系：π、e和-1的平方根。許多人認(rèn)為這是數(shù)學(xué)中最漂亮的公式。一個(gè)更一般的公式是e^(ix)=cosx+isinx(a^b表示a的b次方，下同)。當(dāng)x=π，cosx取值為-1，而isinx取值為0。由-1+1=0，我們得到了歐拉恒等式。 【第2句】：歐拉乘積公式等式左邊的符號(hào)是無(wú)窮求和，而右邊的符號(hào)則是無(wú)窮乘積。這個(gè)公式也是歐拉首先發(fā)現(xiàn)的。它聯(lián)系了出現(xiàn)在等式左邊的自然數(shù)（如n=1,2,3,4,5等等）與出現(xiàn)在等式右邊的素?cái)?shù)（如p=2,3,5,7,11等等）。而且我們可以選取s為任意大于1的數(shù)，并保證等式成立。歐拉乘積公式的左邊是黎曼ζ函數(shù)最常見(jiàn)的一種表示形式。 【第3句】：高斯積分函數(shù)e^(-x2)本身在積分中是很難對(duì)付的?？墒钱?dāng)我們對(duì)它在整個(gè)實(shí)數(shù)軸上積分，也就是說(shuō)從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮時(shí)，我們卻得到了一個(gè)十分干凈的答案。至于為什么曲線下面的面積是π的平方根，這可不是一眼就能看出來(lái)的。由于這個(gè)公式代表了正態(tài)分布，它在統(tǒng)計(jì)中也十分重要。 【第4句】：連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)上面的公式說(shuō)明了實(shí)數(shù)集的基數(shù)與自然數(shù)全體子集的基數(shù)相同。這首先是被集合論的建立者康托爾證明的。值得注意的是，這也說(shuō)明了連續(xù)統(tǒng)是不可數(shù)，因?yàn)?^N>N。一個(gè)相關(guān)的假設(shè)是連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。這個(gè)假設(shè)是說(shuō)，在N和R之間不存在其它的基數(shù)。有趣的是，這個(gè)假設(shè)有一個(gè)奇怪的性質(zhì)：它既不能被證明也不能被證偽。 【第5句】：階乘函數(shù)的解析延拓階乘函數(shù)通常被定義為n!=n(n-

【第4句】： 歐拉公式的證明過(guò)程誰(shuí)知道

用拓樸學(xué)方法證明歐拉公式

嘗歐拉公式：對(duì)于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒(méi)有洞的立體），假 設(shè)F,E和V分別表示面，棱（或邊），角（或頂）的個(gè)數(shù)，那么

F-E+V=2。試一下用拓樸學(xué)方法證明關(guān)于多面體的面、棱、頂點(diǎn)數(shù)的歐拉公式。

證明 ：

(1)把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體。

(2)去掉多面體的一個(gè)面，就可以完全拉開(kāi)鋪在平面上而得到一個(gè)平面中的直線形，像圖中②的樣子。假設(shè)F′，E′和V′分別表示這個(gè)平面圖形的（簡(jiǎn)單）多邊形、邊和頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)，我們只須證明F′-E′+V′=1。

(3)對(duì)于這個(gè)平面圖形，進(jìn)行三角形分割，也就是說(shuō)，對(duì)于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進(jìn)對(duì)角線，一直到成為一些三角形為止，像圖中③的樣子。每引進(jìn)一條對(duì)角線，F(xiàn)′和E′各增加1，而V′卻不變，所以F′-E′+V′不變。因此當(dāng)完全分割成三角形的時(shí)候，F(xiàn)′-E′+V′的值仍然沒(méi)有變。有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上。

(4)如果某一個(gè)三角形有一邊在邊界上，例如圖④中的△ABC，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即AC，這樣也就去掉了△ABC。這樣F′和E′各減去1而V′不變，所以F′-E′+V′也沒(méi)有變。

(5)如果某一個(gè)三角形有二邊在邊界上，例如圖⑤中的△DEF，去掉這個(gè)三角形的不屬于其他三角形的邊，即DF和EF，這樣就去掉△DEF。這樣F′減去1,E′減去2,V′減去1，因此F′-E′+V′仍沒(méi)有變。

(6)這樣繼續(xù)進(jìn)行，直到只剩下一個(gè)三角形為止，像圖中⑥的樣子。這時(shí)F′=1,E′=3,V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。

(7)因?yàn)樵瓉?lái)圖形是連在一起的，中間引進(jìn)的各種變化也不破壞這事實(shí)，因此最后圖形還是連在一起的，所以最后不會(huì)是分散在向外的幾個(gè)三角形，像圖中⑦那樣。

(8)如果最后是像圖中⑧的樣子，我們可以去掉其中的一個(gè)三角形，也就是去掉1個(gè)三角形，3個(gè)邊和2個(gè)頂點(diǎn)。因此F′-E′+V′仍然沒(méi)有變。

即F′-E′+V′=1

成立，于是歐拉公式：

F-E+V=2

得證。

【第5句】： 世界上最美的十大數(shù)學(xué)公式

No.10 圓的周長(zhǎng)公式（The Length of the Circumference of a Circle）

No.9 傅立葉變換（The Fourier Transform）

No.8 德布羅意方程組（The de Broglie Relations）

No.7 1+1=2

No.6 薛定諤方程（The Schr?dinger Equation）

No.5 質(zhì)能方程（Mass–energy Equivalence）

No.4 勾股定理/畢達(dá)哥拉斯定理（Pythagorean Theorem）

No.3 牛頓第二定律（Newton's Second Law of Motion）

No.2 歐拉公式（Euler's Identity）

No.1 麥克斯韋方程組（The Maxwell's Equations）